Mathématiques

3.3908421913462 (1223)
Posté par seb 31/03/2009 @ 11:18

Tags : mathématiques, science

Dernières actualités
Réviser vos mathématiques avec une star du X - melty.fr
Aujourd'hui il existe une nouvelle méthode pour réviser son cours de mathématiques avec Mia Vendome, tout en douceur et sans trop se fatiguer les méninges ; voilà qui va en ravir plus d'un ! Après le phénomène Babe Sitters, dont l'idée en a surement...
«On trouve f'(x) = (1-x) ex/f(x)» - Libération
Au passage les meilleurs corrigés –meilleurs que le mien, vous les trouverez, peut-être un peu moins vite, mais complets et bien présentés sur la page de l'APMEP (Association des professeurs de mathématiques de l'enseignement public)....
Auby : Les collégiens, champions des maths - L'Observateur du Douaisis
Samedi 6 juin après-midi, quatre élèves du collège Victor Hugo se sont rendus à l'Université des Sciences et Technologie de Lille qui accueillait, à l'occasion du 17e Rallye des Mathématiques, 118 équipes de collégiens venus des différents...
Olympiades de mathématiques. Vingt et un lycéens primés - Le Télégramme
Le recteur d'académie Alain Miossec a reçu, mercredi, à Rennes, les 21 lycéens lauréats des «Olympiades de mathématiques». Ouverte aux élèves de première qui souhaitent y participer, cette compétition a été disputée par 139 jeunes Bretons (dont 68% de...
France: Un étudiant Marocain expulsé à quelques jours de ses ... - Yabiladi
L'étudiant en licence de mathématiques appliquées a réussi à alerter quelques camarades étudiants avec des SMS lors de son interpellation. Ainsi, une cinquantaine de personnes, étudiants, professeurs et militants associatifs se sont mobilisés et se...
Le collège récompense ses lauréats des concours Kangourou et Big ... - La Voix du Nord
Son intérêt est de faire des mathématiques autrement et surtout pour les aimer », explique Arlette Segond, professeur de mathématiques qui gère l'opération. Avec le Big Challenge, le principe est le même que pour Kangourou....
SAINT-PÉE-SUR-NIVELLE. Journée de poésie - Sud Ouest
Donostiar de 43 ans, docteur en mathématiques, diplômé en sociologie linguistique, Josemari Zendoia enseigne l'économie appliquée à l'Université basque de Saint-Sébastien. Il écrit aussi de la poésie en basque et en castillan profusément....
Le collège Joliot-Curie 48e en mathématiques - La Voix du Nord
Quatre élèves du collège Joliot-Curie de Fourmies ont représenté leur établissement à la finale du Rallye mathématiques. En février, une première épreuve de qualification avait été organisée par les professeurs de mathématiques au sein du collège....
Christian Dupont: "Il reste 4.000 places dans les écoles" - RTL Info.be
Tout n'est cependant pas rose: "On a des problèmes en Français et en Mathématiques. Le chemin de la qualité est encore très long". De plus, on a noté plus de 6.000 échecs pour le CEB, certificat d'étude de base : "Ils resteront dans leur école ou iront...

Mathématiques

Navstar-2 - La conquête aérospatiale : grande consommatrice de mathématiques appliquées.

Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les mathématiques désignent aussi le domaine de recherche visant à développer ces connaissances, ainsi que la discipline qui les enseigne.

Les mathématiques se distinguent des autres sciences par un rapport particulier au réel. Elles sont de nature purement intellectuelles, basées sur des axiomes declarés vrais (c'est-à-dire que les axiomes ne sont pas soumis à l'expérience mais ils en sont souvent inspirés notamment dans le cas des mathématiques classiques) ou sur des postulats provisoirement admis. Un énoncé mathématique – dénommé généralement théorème, proposition, lemme, fait, scholie ou corollaire – est considéré comme valide lorsque le discours formel qui établit sa vérité respecte une certaine structure rationnelle appelée démonstration, ou raisonnement logico-déductif.

Bien que les résultats mathématiques soient des vérités purement formelles, ils trouvent cependant des applications dans les autres sciences et dans différents domaines de la technique. C'est ainsi qu'Eugène Wigner parle de « la déraisonnable efficacité des mathématiques dans les sciences de la nature ».

Le terme mathématique vient du grec, par l'intermédiaire du latin. Le mot μάθημα (máthēma) signifie « science, connaissance » puis « mathématiques », il a donné naissance à l'adjectif μαθηματικός (mathematikos), d'abord « relatif au savoir » puis « qui concerne les sciences mathématiques ». Cet adjectif a été adopté par le latin (mathematicus) et dans les langues romanes à sa suite (mathématique en français, matematica en italien, etc.) ainsi que dans de nombreuses autres langues,.

La forme neutre de l'adjectif μαθηματικός a été substantivée en τα μαθηματικά (ta mathēmatiká) pour désigner les sciences mathématiques dans leur ensemble. Cette forme plurielle, utilisée par Aristote, explique l'usage du pluriel pour le substantif en latin chez Cicéron (mathematica) puis en français et dans les autres langues européennes. Le singulier est parfois employé (la mathématique en français, mathematic en anglais), mais « le mot donne alors au contexte une teinte d'archaïsme ou de didactisme ».

Dans l'argot scolaire, le terme mathématiques est fréquemment apocopé : les maths.

Il est fort probable que l'homme ait développé des compétences mathématiques avant l'apparition de l'écriture. Le premier objet reconnu attestant de compétences calculatoires est l'os d'Ishango datant de 20 000 ans avant notre ère ,,. Le développement des mathématiques en tant que connaissance transmise dans les premières civilisations est lié à leurs applications concrètes : le commerce, la gestion des récoltes, la mesure des surfaces, la prédiction des événements astronomiques, et parfois l'exécution de rituels religieux.

Les premiers développements mathématiques concernaient l'extraction des racines carrées, des racines cubiques, la résolution d'équations polynomiales, la trigonométrie, le calcul fractionnaire, l'arithmétique des entiers naturels... Ils s'effectuèrent dans les civilisations akkadiennes, babyloniennes, égyptiennes, chinoises ou encore de la vallée de l'Indus.

Dans la civilisation grecque, les mathématiques, influencées par les travaux antérieurs et les spéculations philosophiques, recherchent davantage d'abstraction. Les notions de démonstration et de définition axiomatique sont précisées. Deux branches se distinguent, l'arithmétique et la géométrie. Au IIIe siècle avant notre ère, les Éléments d'Euclide résument et ordonnent les connaissances mathématiques de la Grèce.

La civilisation islamique a permis la conservation de l'héritage grec et l'interfécondation avec les découvertes chinoises et indiennes, notamment en matière de représentation des nombres. Les travaux mathématiques sont considérablement développés tant en trigonométrie (introduction des fonctions trigonométriques) qu'en arithmétique. L'analyse combinatoire, l'analyse numérique, et l'algèbre polynomiale sont inventées et développées.

Durant la Renaissance européenne, une partie des textes arabes sont étudiés et traduits en latin. La recherche mathématique se concentre en Europe. Le calcul algébrique se développe suite aux travaux de François Viète et René Descartes. Newton et Leibniz, indépendamment, inventent le calcul infinitésimal.

Au cours du XVIIIe siècle et du XIXe siècle, les mathématiques connaissent de forts développements avec l'étude systématique des structures, à commencer par les groupes issus des travaux d'Évariste Galois sur les équations polynomiales, et les anneaux introduits par Richard Dedekind.

Le XIXe siècle voit avec Hilbert et Cantor le développement d'une théorie axiomatique sur tous les objets étudiés, soit la recherche des fondements mathématiques. Ce développement de l'axiomatique conduira le XXe siècle à chercher à définir toutes les mathématiques à l'aide d'un langage : la logique.

Le XXe siècle a connu un fort développement en mathématiques avec une spécialisation des domaines, et la naissance ou le développement de nombreuses nouvelles branches (théorie de la mesure, théorie spectrale, topologie algébrique et géométrie algébrique, par exemple). L'informatique a eu un impact sur la recherche. D'une part, elle a facilité la communication et le partage des connaissances, d'autre part, elle a fourni un formidable outil pour la confrontation aux exemples. Ce mouvement a naturellement conduit à la modélisation et à la numérisation.

Un découpage des mathématiques en deux, trois ou quatre domaines différents est couramment utilisé : algèbre et analyse, ou bien algèbre, analyse et géométrie, ou bien algèbre, analyse, géométrie et probabilités. Cela dit de tels découpages ne sont pas évidents et les frontières les séparant sont toujours mal définies. En effet, de nombreux résultats font appel à des compétences mathématiques variées. Le théorème de Wiles établi en 1994 en est un exemple. Bien que formulé de manière dite arithmétique, la preuve nécessite de profondes compétences en analyse et en géométrie.

En France, cette distinction structure souvent les équipes de recherche sans forcément hypothéquer les possibilités d'interactions entre elles. Toutefois, la pertinence de cette distinction est remise en cause par un certain nombre de mathématiciens. Selon une boutade de Ian Stewart, mathématicien pur, « La différence entre mathématiciens purs et appliqués, c'est que les seconds pensent qu'il n'y a pas de différence, alors que les premiers savent très bien qu'il y en a une ».

Les mathématiques appliquées, en un sens mal définies, comprennent entre autres l'analyse numérique, les statistiques appliquées et la théorie de l'optimisation mathématique. Certains domaines de recherche des mathématiques sont nées à la frontière avec d'autres sciences (voir ci-dessous).

Il est faux de croire que la recherche mathématique se limite à la démonstration mécanique de théorèmes. L'une des méthodes les plus fructueuses de recherche mathématique est la mise en rapprochement de domaines a priori éloignés en mettant en lumière des phénomènes analogues (par exemple, la géométrie euclidienne et les équations différentielles linéaires). Voir des phénomènes analogues se produire peut conduire à vouloir adapter des résultats d'un domaine des mathématiques à un autre, à reformuler des éléments de démonstration en termes équivalents, à tenter une axiomatisation d'un objet (dans notre exemple, ce serait la notion d'espace vectoriel) qui regrouperait les deux domaines, ... Dans ce dernier cas, ce nouvel objet deviendrait alors un objet d'étude par lui-même. Dans certains cas, l'identification d'objets a priori différents devient nécessaire : le langage des catégories permet de faire ce genre de choses.

Une autre méthode de recherche est la confrontation aux exemples et aux cas particuliers. Cette confrontation peut permettre de réfuter des propriétés qu'on pensait ou espérait être vraies (conjectures). Au contraire, elle peut permettre de vérifier des propriétés ou d'amener à les formaliser. Par exemple, en géométrie riemannienne, l'étude des surfaces (donc des objets en dimension 2) et de leurs géodésiques a finalement conduit Anosov à formaliser ce qui aujourd'hui est connu sous le nom de difféomorphisme d'Anosov, une transformation possédant d'intéressantes propriétés dynamiques.

Les mathématiques utilisent un langage qui leur est propre. Certains termes du langage courant, comme groupe, anneau, corps ou variété, peuvent être empruntés et redéfinis pour désigner des objets mathématiques. Mais souvent des termes sont formés et introduits selon les besoins : isomorphisme, topologie, itération, ... Le nombre élevé de ces termes rend difficile la compréhension des mathématiques par les non-mathématiciens.

Le langage mathématique s'appuie aussi sur l'usage de formules. Ces formules comportent des symboles, les uns en rapport avec le calcul propositionnel comme le connecteur binaire d'implication ou le connecteur unaire de négation , d'autres en rapport avec le calcul des prédicats, comme le quantificateur universel ou le quantificateur existentiel . La plupart des notations utilisées aujourd'hui ont été introduites après le dix-septième siècle seulement.

Soulignons pour terminer qu'il existe un langage mathématique qui décrit les mathématiques. En ce sens, on dit qu'il s'agit d'un métalangage. Ce langage est la logique et plus précisément la logique mathématique.

Les mathématiques entretiennent des rapports particuliers avec toutes les sciences, au sens large du terme. L'analyse de données (interprétation graphique, données statistiques, ...) fait appel à des compétences mathématiques variées. Mais des outils avancés de mathématiques interviennent réellement dans les modélisations.

Toutes les sciences dures, à l'exception des mathématiques, tendent à une compréhension du monde réel. Cette compréhension passe par la mise en place d'un modèle, prenant en compte un certain nombre de paramètres considérés comme causes d'un phénomène. Ce modèle constitue un objet mathématique, dont l'étude permet une meilleure compréhension du phénomène étudié, éventuellement une prédiction qualitative ou quantitative quant à son évolution future.

La modélisation fait appel à des compétences relevant essentiellement de l'analyse et des probabilités, mais les méthodes algébriques ou géométriques s'avèrent utiles.

Récemment, un domaine de recherche spécifique, la physique mathématique, tend précisément à développer les méthodes mathématiques mises à l'usage de la physique.

Le lien étroit entre mathématiques et physique se reflète dans l'enseignement supérieur des mathématiques. L'enseignement de la physique fait appel à des cours de mathématiques pour physiciens ; et il n'est pas rare que les cursus de mathématiques dans les universités incluent une initiation facultative à la physique.

L'essor des techniques au XXe siècle a ouvert la voie à une nouvelle science, l'informatique. Celle-ci est intimement liée aux mathématiques, de diverses manières : certains pans de la recherche en informatique théorique peuvent être considérés comme d'essence mathématique, d'autres branches de l'informatique faisant plutôt usage des mathématiques. Les nouvelles technologies de communication ont quant à elles ouvert la voie aux applications à des branches des mathématiques parfois très anciennes (arithmétique), notamment en ce qui concerne les problèmes de sécurité des transmissions : cryptographie, théorie des codes.

En contrepartie, les sciences informatiques influencent l'évolution moderne des mathématiques.

Les mathématiques discrètes forment un domaine de recherche actuel des mathématiques visant à développer les méthodes utilisées en science informatique, incluant la théorie de la complexité, la théorie de l'information, la théorie des graphes, ... Parmi les problèmes ouverts, citons notamment le célébre problème P=NP? en théorie de la complexité, qui fait partie des 7 problèmes du millénaire. Celui qui arrivera à décider si P et NP sont différents ou égaux recevra le prix Clay de plus de 1 000 000 $ .

La biologie est grande consommatrice de mathématiques et notamment de probabilités. La dynamique d'une population se modélise couramment par des chaînes de Markov (théorie des processus discrets) ou par des équations différentielles couplées. Il en va de même pour l'évolution des génotypes : la loi de Hardy-Weinberg, souvent évoquée en génétique, relève de propriétés générales sur les processus à temps discret (existence de lois limites). Plus généralement, la phylogéographie fait appel à des modélisations probabilistes. De plus, la médecine use de tests (statistiques) pour comprendre la validité de tel ou tel traitement. Un domaine spécifique de recherche à la frontière de la biologie est né : la biomathématique.

Dans les dernières années, la chimie organique a fait appel à l'informatique pour pouvoir modéliser les molécules en trois dimensions : il s'avère que la forme d'une macromolécule en biologie est variable et détermine son action. Cette modélisation fait appel à de la géométrie euclidienne ; les atomes forment une sorte de polyèdre dont les distances et les angles sont fixés par les lois d'interaction.

Les géologies structurales et climatologiques font appel à des modèles mêlant des méthodes probabilistes et analytiques, pour pouvoir prédire du risque de catastrophe naturelle. La complexité des modèles est telle qu'une branche de recherche est née à la frontière des mathématiques et de la géophysique, à savoir la géophysique mathématique. De même, la météorologie, l'océanographie et la planétologie sont grandes consommatrices de mathématiques car elles nécessitent des modélisations.

Son rapport avec les sciences humaines se fait essentiellement par les statistiques et les probabilités, mais aussi par des équations différentielles, stochastiques ou non, en économie et en finance (sociologie, psychologie, économie, finance, gestion, ...).

Notamment, les mathématiques financières sont une branche des mathématiques appliquées visant a la compréhension de l'évolution des marchés financiers et de l'estimation des risques. Cette branche des mathématiques se développe à la frontière des probabilités et de l'analyse et use des statistiques.

La mathématisation ou l'appel à des méthodes mathématiques ne justifie en aucun cas l'authenticité scientifique. En effet, les postulats d'une "pensée" peuvent être extrêmement problématiques, voire farfelus, mais s'ils sont de nature à être quantifiés, ils peuvent donner lieu à des calculs complexes.

Les théories astrologiques occidentales se défendent de suivre des méthodes scientifiques. En particulier, l'astrologie statistique utilise les tests statistiques pour mettre en évidence d'éventuelles corrélations entre la position des astres et le devenir des hommes. Toutefois, ces études initiées par Choisnard et Gauquelin, menées à la marge de la recherche scientifique, n'ont à ce jour pas été productives et n'ont réussi à donner aucune preuve recevable d'un lien de cause à effet.

Dans l'essai polémique Impostures intellectuelles, Alan Sokal et Jean Bricmont dénoncent l'utilisation non fondée ou abusive d'une terminologie scientifique, en particulier mathématique et physique, dans le domaine des sciences humaines.

L'étude de systèmes complexes (évolution du chômage, capital d'une entreprise, évolution démographique d'une population, ...) font appel à des connaissances mathématiques élémentaires. Le choix des critères de comptage, notamment dans le cas du chômage, est sujet à polémique.

Beaucoup plus subtil est le cas de l'économie mathématique. Le postulat fondamental de cette discipline est que l'activité économique peut se comprendre à partir d'un axiome de nature anthropologique, celui de l'acteur individuel rationnel. Dans cette vision, chaque individu cherche par ses actions à accroître un certain profit, et ce de façon rationnelle. Cette sorte de vision atomiste de l'économie permet à celle-ci de mathématiser relativement aisément sa réflexion, puisque le calcul individuel se transpose en calcul mathématique. Toutefois, certains sociologues, comme Pierre Bourdieu, et même certains économistes, refusent ce postulat de l'homo œconomicus, en remarquant que les motivations des individus comprennent non seulement le don, mais aussi dépendent d'autres enjeux dont l'intérêt financier n'est qu'une partie, ou tout simplement ne sont pas rationnelles. La mathématisation est donc selon eux un habillage permettant une valorisation scientifique de la matière.

Ceci dit, la modélisation mathématique en économie permet de percer à jour des mécanismes économiques qui n'auraient pu être découverts que très difficilement par une analyse "littéraire". Par exemple, les explications des cycles économiques ne sont pas triviales. Sans modélisation mathématique, on peut difficilement aller au delà du simple constat statistique ou des spéculations non prouvées.

Les mathématiques sont parfois surnommées reine des sciences. Cependant, l'expression remonte à Carl Friedrich Gauss : Regina Scientiarum et le mot scientiarium signifie en réalité «des connaissances».

Censément, les mathématiques utilisent la logique comme outil pour démontrer des vérités organisées en théories. Une première analyse laisse espérer qu'une utilisation puissante de cet outil tellement sûr, une réduction toujours plus poussée des bases, les axiomes, sur lesquelles s'échafaude l'édifice mathématique, finissent par mener à un corpus de faits incontestables. Plusieurs obstacles se dressent pourtant.

Cependant l'activité mathématique est loin de se réduire à la recherche de démonstrations et à la vérification de celles-ci. La confiance que la communauté mathématique place dans un de ses membres qui propose un résultat nouveau intervient dans la réception qu'aura ce résultat, et ce d'autant plus s'il est inattendu, ou modifie la façon de voir les choses. On peut prendre pour exemple historique les controverses sur les géométries non euclidiennes au XIXe siècle, durant lequel les travaux de Lobatchevsky ont été largement ignorés ; ou bien, dans un autre ordre d'idée, la difficulté de la réception des travaux du jeune républicain Galois au début du même siècle, notamment par Cauchy . La sociologie des mathématiques étudie de tels phénomènes (voir sociologie des sciences).

D'autre part, la solidité même des bases ne peut reposer sur les seules mathématiques. En effet les théorèmes d'incomplétude, démontrés par Kurt Gödel dans la première moitié du XXe siècle, montrent que, contrairement à ce qu'espérait David Hilbert, il est impossible de réduire formellement les bases des mathématiques en un système dont la sûreté se démontre à partir de celles-ci, et ceci entraîne, que certaines propriétés considérées « vraies » resteront inaccessibles à la démonstration, quels que soient les axiomes choisis.

L'enseignement des mathématiques peut aussi bien désigner l'apprentissage des notions mathématiques fondamentales ou élémentaires que l'apprentissage et l'initiation à la recherche (enseignement supérieur des mathématiques). Suivant les époques et les lieux, les choix des matières enseignées et les méthodes d'enseignement changent (mathématiques modernes, méthode de Moore, éducation classique, ...). Dans certains pays, le choix des programmes scolaires dans l'éducation publique est fait par des institutions officielles.

Les notes qui sonnent bien ensemble à une oreille occidentale sont des sons dont les fréquences fondamentales de vibration sont dans des rapports simples . Par exemple, l'octave est un doublement de fréquence, la quinte une multiplication par 3/2.

Ce lien entre les fréquences et l'harmonie a été notamment détaillé dans le Traité de l'harmonie réduite à ses principes naturels (Paris, 1722, réédité en IBSN 2865631575 ou ISBN 205100787X) de Jean-Philippe Rameau, compositeur baroque français et théoricien de la musique. Il repose en partie sur l'analyse des harmoniques (notées 2 à 15 dans la figure suivante) d'un son fondamental Do grave (noté 1), les premières harmoniques et leurs octaves sonnant bien entre elles.

Si la courbe tracée en rouge, qui suit les notes harmoniques, a une allure logarithmique, cela correspond au rapport entre deux phénomènes. D'une part, la représentation de la hauteur d'un son par notre système auditif qui est proportionnelle au logarithme de la fréquence du son (une fréquence double correspond toujours à la même "distance sonore" appelée octave). D'autre part, les fréquences harmoniques qui sont des multiples entiers de la fréquence fondamentale.

On peut constater que l'on associe une certaine beauté aux figures symétriques. Une symétrie d'une figure géométrique est, intuitivement, l'existence d'un motif de la figure qui se répète suivant une règle précise, tout en étant partiellement transformé. Mathématiquement, une symétrie est l'existence d'une action non triviale d'un groupe, très souvent par isométrie, c'est-à-dire qui préserve les distances sur la figure. En d'autres termes, l'intuition de la règle est mathématiquement réalisée par le fait que c'est un groupe qui agit sur la figure, et le sentiment qu'une règle régit la symétrie est précisément dû à la structure algébrique de ce groupe.

Par exemple, le groupe lié à la symétrie miroir est l'ensemble . Un test de Rorschach est une figure invariante par cette symétrie, de même qu'un papillon et plus généralement le corps des animaux, du moins en surface. Lorsqu'on dessine la surface de la mer, l'ensemble des vagues possède une symétrie par translation : bouger notre regard de la longueur séparant deux crêtes de vagues ne change pas la vue que l'on a de la mer. Un autre cas de symétrie, cette fois non isométrique et presque toujours seulement approximative, est celui présenté par les fractales : un certain motif se répète à toutes les échelles de vision.

La vulgarisation mathématique a pour objectif de présenter les mathématiques en un langage dénué de termes techniques. Comme l'objet d'études des mathématiques n'est pas réel, elle use souvent d'un vocabulaire imagé, et de comparaisons ou analogies non rigoureuses, pour faire sentir l'idée des développements mathématiques.

Toutefois, les mathématiques font rarement l'objet de vulgarisation dans des journaux ou journaux télévisés.

Si nombre de biographies portent sur les mathématiciens, les mathématiques sont un thème certes peu exploité dans la littérature ou la filmographie, mais présent.

En haut



Philosophie des mathématiques

La philosophie des mathématiques est la branche de la philosophie qui tente de répondre aux interrogations sur les fondements des mathématiques ainsi que sur leur usage. On y croise des questions telles que : « pourquoi les mathématiques sont-elles utiles ou efficaces pour décrire la nature ? », « dans quel(s) sens, peut-on dire que les entités mathématiques existent ? » ou « pourquoi et comment peut-on dire qu'une proposition mathématique est vraie ? ».

Ces pistes seront abordées dans la suite de l'article.

De quoi traitent les mathématiques ? La biologie moléculaire cherche à expliquer le fonctionnement du vivant par l'étude des interactions chimiques entre les molécules. La cosmologie cherche à donner une description cohérente de l'Univers dans son ensemble en oubliant les structures particulières. Les neurosciences cherchent à explorer le fonctionnement interne du cerveau et à comprendre l'origine de la pensée. Et les mathématiques ?

Les mathématiques traitent de nombreux objets dont les propriétés diffèrent. Mais ces objets sont des définitions fruits de la réflexion humaine. En ce sens, les mathématiques sont des créations de l'esprit humain le résultat d'une « construction neuronale » comme l'affirme le neurologue Jean-Pierre Changeux. L'exploration mathématique consisterait à l'énumération de propriétés vérifiées par les objets définis au préalables. Pourtant, la pratique permet de différencier le vrai du faux, de cerner la justesse des raisonnements, et même la pertinence des définitions.

Au contraire, de nombreux mathématiciens sont d'avis de placer les raisonnements mathématiques comme préexistant à l'esprit humain. En ce sens, énoncer un nouveau théorème n'est pas une invention, mais une découverte. Le mathématicien français Jean-Pierre Serre est de cet avis. Il apparente l'étude des cas particuliers, des exemples et contre-exemples à l'expérimentation.

Quand commence la mathématique ? Difficile de répondre précisément. Tout dépend du sens du terme « mathématique ».

La mathématique dans une acception très large est un ensemble de concepts et de méthodologie. Les mathématiques commencent donc avec le dénombrement. Ce savoir est antérieur à l'écriture. Des entailles sur des os préfigurent des calendriers lunaires, à l'instar de l'os d'Ishango. L'utilisation des nombres était effective dès les premières civilisations (Mésopotamie, IVe millénaire ).

Toutefois, si on limite les mathématiques à une connaissance scientifique reposant sur des raisonnements vérifiables, les premières mathématiques datent de la civilisation grecque.

Une troisième école date les débuts des mathématiques avec le renouveau culturel en Europe à la Renaissance.

Ces différends sur les origines mathématiques portent davantage sur la définition de cette science que sur l'authenticité des preuves historiques.

Par leur rapport particulier au réel, les mathématiques se distinguent des autres domaines de recherche. Ce rapport au réel conduit des philosophes des sciences à s'interroger sur l'appellation sciences. En philosophie des sciences, le faillibilisme est employé par Charles Sanders Peirce pour opposer les sciences au fondamentalisme ; ce concept est repris dans le rationalisme critique de Karl Popper sous le terme de réfutabilité. Popper reconnaît les mathématiques comme sciences suite aux travaux d'Alfred Tarski sur la sémantique. La question de savoir si les mathématiques sont ou non une science est une question relevant de la philosophie des mathématiques.

«Que nul n'entre ici s'il n'est géomètre», était-il gravé sur le portail de l'Académie, école de Platon. Pour ce philosophe, les mathématiques sont un intermédiaire pour accéder au royaume des Idées.

Concernant les mathématiques, Aristote est encore très empreint de platonisme. L'univers au-delà de la Lune, les étoiles et les planètes, peuvent être compris par les mathématiques, car ils sont ordonnés suivant des lois éternelles et parfaites. En revanche, pour Aristote le monde sublunaire est sujet au changement et au mouvement, et la physique ne peut en aucun cas prétendre acquérir la rigueur et l'universalité des mathématiques.

Le logicisme considère que les mathématiques sont toutes entières incluses dans l'ensemble des connexions logiques élémentaires, théoriquement explicitables, qui composent une démonstration.

Pour Albert Lautman, le monde des idées mathématiques est le parangon du monde des Idées platoniciennes. Plus précisément, il considère que les relations entre les objets mathématiques mises en évidence dans les démonstrations sont des relations plus générales, métamathématiques. Dans ses ouvrages, Lautman montre que dans le déroulement d'une démonstration d'un théorème, des idées développées par des philosophes dans un tout autre contexte sont réalisées.

Les constructivistes n'admettent que les mathématiques construites. Plus techniquement, ils n'acceptent dans les démonstrations que les inférences finies. Par exemple, le raisonnement par récurrence ainsi que l'axiome du choix sont prohibés. Les démonstrations par l'absurde sont également interdites, puisqu'elles ne donnent l'existence de l'être mathématique que par l'impossibilité de son non-être, et non pas par l'explicitation concrète de son existence.

Les calculationnistes sont ceux qui comme Stephen Wolfram identifient la nature au calcul. Pour eux, une pomme qui tombe est une instantiation du calcul de la mécanique.

En haut



Mathématiques dans l'Égypte antique

Image:Cartouche_vie.jpg

Les mathématiques en Égypte antique étaient fondées sur un système décimal. Chaque puissance de dix était représentée par un hiéroglyphe particulier. Le zéro était inconnu. Toutes les opérations étaient ramenées à des additions. Pour exprimer des valeurs inférieures à leur étalon, les Égyptiens utilisaient un système simple de fractions unitaires.

Pour déterminer la longueur d'un champ, sa surface ou encore mesurer un butin, les Égyptiens utilisaient trois systèmes de mesure différents, mais tous obéissaient aux règles décrites ci-dessus.

Les rares documents mathématiques découverts à ce jour ne donnent qu'une vague idée de l'étendue des connaissances des anciens égyptiens dans ce domaine. Toutefois, il est certain qu'ils parvenaient à proposer des résolutions de problèmes apparentés à des équations du premier et du second degré. Ils connaissaient les suites numériques et le calcul de volumes et de surfaces avait également atteint un certain degré de complexité.

Les Égyptiens de l'Antiquité utilisaient un système de numération décimal. Chaque ordre de grandeur (unités, dizaines, centaines, etc.) possédait un signe répété le nombre de fois nécessaire. C'était donc un système additionnel.

Plusieurs systèmes coexistaient selon le type de mesure désirée.

Pour mesurer des longueurs, il existait deux systèmes. Le premier était basé sur la grande coudée ou coudée royale (meh ni-sout). Cette coudée représentait la distance entre le bout du majeur et la pointe du coude et mesurait à peu près 0,5 mètre. Cette unité était très utilisée pour mesurer les largeurs, longueurs de pièces d'une construction ou des salles d'un temple, mais aussi la hauteur d'une crue. Cent coudées constituent un khet.

Le deuxième système, le système oncial, était lui basé sur la coudée sacrée (meh djeser). Elle mesurait à peu près 0,7 mètre. Elle était principalement utilisée dans la décoration des tombes, temples et palais.

Pour les surfaces, l'unité de mesure était l'aroure. Elle représentait un carré de 1 khet (100 coudées) de côté. On nommait coudée de terre (meh) une bande d'une coudée sur cent. L'aroure était utilisée pour mesurer des terres, et construire un cadastre précis après chaque crue.

Pour mesurer des volumes, l'unité de mesure était l'hekat. Les mesures s'effectuaient grâce à un sac de cuir de vingt hekat. Les Égyptiens avaient réussi à établir une correspondance de ce système avec celui des longueurs : il y avait équivalence entre le cube de la coudée royale et trente hekat. L'hekat était utilisé pour mesurer les récoltes de grain.

Pour mesurer un poids, l'unité de mesure était le deben. À l'Ancien Empire, son poids variait selon le type du produit pesé (or, cuivre...), mais au Nouvel Empire, ce système se simplifia et ne garda qu'un étalon unique (d'environ 91 grammes). De petits cylindres en pierre servaient à la mesure et matérialisait cet étalon. Cette unité servait à mesurer l'importance d'un butin ou d'un poids de métaux précieux utilisés pour une décoration.

Les scribes se servaient des premières fractions dyadiques, à savoir 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 et 1/64 pour faire des calculs. Celles-ci étaient représentées par l'Œil d'Horus, une représentation de l'œil gauche d'Horus perdu puis retrouvé.

Seth le lui ôta par jalousie et le découpa en plusieurs morceaux, Thot en retrouva six morceaux (représentant les six fractions donc) mais il manquait 1/64 pour faire l'unité. Thot y ajouta alors « le liant magique » permettant à l'œil de recouvrer son unité. Les scribes opéraient donc leurs calculs en approximant 63/64 à 1.

La composition de deux fractions susnommées leur permettait d'en créer de nouvelles (par exemple 1/2 et 1/4 pour avoir 3/4).

Les parties du dessin, stylisées, sont utilisées comme hiéroglyphes pour noter, dans les textes sur les volumes de grains, les fractions correspondantes (voir Œil Oudjat). Dans les papyrus mathématiques, les fractions sont notées en écrivant les nombres explicitement mais, dans les sections R37 et R38 du papyrus Rhind, qui comportent chacune des vérifications différentes, les deux dernières de R37 et la dernière de R38 sont proposée sous forme de volumes de grains en hekat et écrites dans la notation de l'œil Oudjat, de même que le calcul de R64 .

Les Égyptiens connaissaient les quatre opérations, pratiquaient le calcul fractionnaire, étaient capables de résoudre des équations du premier degré par la méthode de la fausse position et de résoudre certaines équations du second degré. Le papyrus Rhind explique comment calculer l'aire d'un cercle en utilisant une approximation fractionnaire de pi : 4x(8/9)x(8/9)=3,16. Le papyrus de Moscou, quant à lui, explique entre autres comment calculer le volume d'une pyramide tronquée et la surface d'une demi-sphère, montrant que les anciens Égyptiens avaient de bonnes connaissances en géométrie.

Bien qu'aucune explication ne soit fournie par les papyrus mathématiques, le système additionnel de la numération égyptienne rend toutes naturelles les opérations d'addition et de soustraction.

L'addition de deux nombres consistait à compter le nombre de symboles total correspondant à une même grandeur. Si le nombre de cette grandeur dépassait dix, le scribe remplaçait ces dix symboles par le symbole de la grandeur supérieure.

La technique de multiplication en Égypte antique reposait sur la décomposition d'un des nombres (généralement le plus petit) en une somme et la création d'une table de puissance pour l'autre nombre. Très souvent, cette décomposition s'effectuait suivant les puissances de deux. Mais celle-ci pouvait varier en fonction de la complexité de l'opération. Le plus petit nombre pouvait ainsi être décomposé alternativement suivant les puissances de deux, les dizaines et les fractions fondamentales telles que 2/3, 1/3, 1/10 etc.

La technique de division en Égypte antique reposait sur le même principe que la multiplication, en ce sens où des tables constituées de puissances de deux successives, de fractions fondamentales et de dizaines étaient utilisées pour résoudre le problème.

Le carré d'une valeur appliqué au calcul d'une surface peut sans aucun problème être assimilé à une simple multiplication. Par contre, les racines carrées, dont il est assuré qu'elles furent connues des anciens égyptiens, n'ont laissé aucun document nous permettant de comprendre la technique d'extraction opérée par eux.

L'énoncé du problème mathématique du papyrus 6619 de Berlin (voir § Équations du second degré) contient la racine carrée de 1 + 1/2 + 1/16, soit 1 + 1/4 ; ainsi que la racine carrée de 100, c'est-à-dire 10. À en juger par les exemples connus d'extraction d'une racine carrée, il semble que le scribe ne connaissait que les radicaux simples, résultant en entiers ou en peu de fractions. Toutefois, l'absence d'opérations dans les problèmes traités indique que le scribe devait avoir à sa disposition des tables contenant le résultat des racines carrées usuelles. Le papyrus Kahun et le papyrus de Moscou contiennent des applications aux racines carrées mais il est notable que le plus important papyrus mathématique, le papyrus Rhind, n'en contient aucune.

Si la réputation des scribes en matière de mathématiques est, d'ordre général, inférieure à celle des babyloniens ou des grecques. La géométrie, au regard des prouesses techniques réalisées très tôt dans leur histoire, fut leur domaine de prédilection et il ne fut nul doute aujourd'hui que cette science associée à l'architecture, fit la grande réputation des égyptiens. C'est l'une des raisons pour lesquelles leur pays accueillit en pèlerinage les savants de la Grèce antique. Les égyptiens réussirent ainsi à calculer la surface d'un disque sans connaitre le nombre pi, avec une erreur de seulement 0,6%. Ils pouvaient calculer les volumes de pyramides et de cylindres et l'aire d'une sphère. certains problèmes figurant sur les papyri mathématiques du Moyen Empire préfigurent même les théorèmes de Thalès et de Pythagore.

Le papyrus Rhind et le papyrus de Moscou contiennent différents problèmes que de nombreux auteurs ont assimilé à des problèmes algébriques de résolutions d'équations à une inconnue (voire deux inconnues), du premier et du second degré. Loin de faire l'unanimité, ce rapprochement met au moins l'accent sur une méthode efficace de résolution présageant l'utilisation de variables et d'inconnues.

Le scribe égyptien ne pose jamais les problèmes sous forme d'équations algébriques (il ne connait pas d'opérateurs mathématiques tels que +, -, x ou %, ni la notion d'inconnue posée par une lettre telle que x). Cependant, la technique utilisée pour résoudre ces problèmes s'apparentent bien souvent aux méthodes de résolution modernes d'équations. L'inconnue dont la valeur est à déterminer est toujours désignée par la quantité ‘ḥ‘ (‘ḥ‘w au pluriel).

Une seconde technique consistait à résoudre les problèmes par la méthode de la fausse position. C'est-à-dire que l'on attribuait à la quantité inconnue une valeur quelconque. Le résultat donné par cette valeur était évidemment faux mais pouvait être corrigé par la règle de proportionnalité inhérente aux équations linéaires. C'est bien cette propriété, fondée sur une méthode empirique, qui fut utilisée ici.

Une quantité (‘ḥ‘) à laquelle on ajoute ses 1/4 devient 15 (Soit X + 1/4X = 15).

Le résultat est 5.

Deuxième étape: le résultat n'est pas 15 mais 5. Quel est donc le rapport entre ces deux résultats ?

Le rapport vaut 3. Par conséquent la relation entre notre valeur aléatoire 4 et la quantité ‘ḥ‘ vérifiant l'égalité posée dans le problème est 4x3 = ‘ḥ‘.

Le résultat est 12.

La quantité ‘ḥ‘ vaut bien 12 et ses 1/4 ajoutés à elle-même font un total de 15.

Certains énoncés posent le problème de la recherche d'une ou plusieurs quantités dont la somme des carrés est connue. Le papyrus 6619 de Berlin offre un très bon exemple du type de résolution par fausse position proposé par les anciens égyptiens, sous la forme d'un système équivalent à deux équations à deux inconnues.

Le problème est de trouver les aires de deux carrés différents dont la somme est égale à l'aire d'un carré de 100 coudées², le rapport des côtés de ces deux carrés étant de 1 pour (1/2 + 1/4).

Posons X la longueur du côté du petit carré, et Y la longueur du côté du grand carré. Par conséquent, l'énoncé serait traduit en langage algébrique moderne par X² + Y² = 100 et X/Y = 1/2 + 1/4.

Le scribe ne différencie pas deux variables. Les côtés des deux carrés étant liés par la relation 1 pour 1/2 + 1/4, il décide d'affecter la valeur 1 au côté du plus grand carré, et 1/2 + 1/4 au côté du plus petit. C'est la méthode de la fausse position déjà étudiée ci-dessus. Il calcule donc les aires des deux carrés : (1/2 + 1/4) ² et 1². Il obtient un total de 1 + 1/2 + 1/16. L'aire totale des deux carrés est donc de 1 + 1/2 + 1/16. Il en déduit le côté du carré équivalent à cette surface en extrayant la racine carrée de 1 + 1/2 + 1/16. Il vient 1 + 1/4. Or le côté du carré de départ est 10 (racine carrée de 100 effectuée par le scribe). Le rapport de 10 sur (1 + 1/4) est de 8. Ce ratio va nous permettre de réajuster les valeurs prises par fausse position : 1 x 8 et (1/2 + 1/4) x 8, soit 8 et 6. nous avons bien 6² + 8² = 100.

La surface d'un carré de 10 coudées de côté est donc équivalente à la surface totale de deux carrés dont les côtés sont respectivement de 6 et de 8 coudées.

Les rares papyrus mathématiques découverts jusqu'à présent ont révélé que les égyptiens avaient de très bonnes notions sur les suites et qu'ils savaient résoudre des problèmes à l'aide des suites arithmétiques ou géométriques.

Une suite arithmétique est une suite de nombres dont chacun des termes s'obtient à partir du précédent en lui additionnant (ou en lui soustrayant) toujours la même valeur. Cette valeur est appelée en langage mathématique moderne, la raison. Par exemple, la suite {1; 3; 5; 7; 9} est une suite arithmétique de cinq termes dont la raison est 2.

Le problème consiste à partager 10 héqat de blé entre 10 hommes. On peut désigner leurs parts respectives par H1, H2, H3, H4, H5, H6, H7, H8, H9 et H10. Les 10 héqat de blé représentent le total des parts à distribuer. Nommons le S. Soit N le nombre de parts. Chaque homme ne possèdera pas la même quantité d'héqat. Pris dans l'ordre, chacun obtiendra 1/8 d'héqat de plus que son prédécesseur. Soit H2 = H1 + 1/8, H3 = H2 + 1/8 et ainsi de suite, le dernier individu ayant la plus grande part. 1/8 représente la raison de la suite donc R = 1/8.

Le scribe détermine en premier lieu la valeur moyenne de héqat que l'on distribuera à chaque homme, soit S/N = 10/10 = 1. Ensuite, il calcule le nombre de différences effectuées sur l'ensemble des 10 individus. Il y en a N-1 = 10-1, soit 9. Il vient R/2 = 1/16, puis R/2 * (N-1) = 1/16 * 9 = 1/2 + 1/16. Le plus grand terme est donné par R/2 * (N-1) + S/N = 1/2 + 1/16 + 1.

Une suite géométrique est une suite de nombres dont chacun des termes s'obtient à partir du précédent en le multipliant toujours par la même valeur. Par exemple, la suite {1; 3; 9; 27; 81} est une suite géométrique de cinq termes dont la raison est 3.

Ce type de suite fut usité mais les documents manquent et il est impossible de se faire une idée précise quant aux connaissances que pouvaient en avoir le scribe. Les méthodes de multiplication et de division employées par les égyptiens sont fondées sur les puissances de deux, autrement dit une suite géométrique de raison 2, et sur les fractions 1/2, 1/4, 1/8 ... c'est-à-dire une suite géométrique de raison 1/2. Par ailleurs, le papyrus Rhind nous fournit l'unique exemple de problème basé sur l'application des suites géométriques.

En haut



Source : Wikipedia